HIPÉRBOLA

Dados dos puntos $F_1$ y $F_2$ llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.

Ecuación canónica de la hipérbola

Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:

  $$\frac{x^2}{a^2}–\frac{y^2}{b^2}=1$$

Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en $\left(0,0\right)$ y eje focal $y=0$ (eje $x$)

Elementos de la hipérbola

$$\frac{x^2}{a^2}–\frac{y^2}{b^2}=1$$

a se denomina semieje real o transverso

b se denomina semieje imaginario

2c es la distancia entre los focos

Ecuación ordinaria de la hipérbola (Centro fuera del origen)

La ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en (h, k) con eje transversal

Horizontal es

y la ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en (h,k) con eje transversal  vertical es :

https://es.scribd.com/document/270086311/Ecuacion-Ordinaria-de-La-Hiperbola

Ecuaciones de la hipérbola:

Ecuaciones canónicas en coordenadas cartesianas

La hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas ${\displaystyle O(0,0)\,}$es representable mediante una de las siguientes ecuaciones denominadas de manera común como ecuación canónica o forma normal de la ecuación de una hipérbola:

(1)${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\Rightarrow b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}$

o

(2)${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1\Rightarrow b^{2}y^{2}-a^{2}x^{2}=a^{2}b^{2}}$

En dichas ecuaciones ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle c}$, representan a los semiejes tranverso, conjugado y focal, respectivamente. La ecuación  representa a las hipérbolas cuyo eje focal es colineal al eje ${\displaystyle x}$ y para aquellas que lo son respecto al eje ${\displaystyle y}$. En la primera ecuación, los focos están en ${\displaystyle F(\pm c,0)}$ y los vértices en ${\displaystyle V(\pm a,0)}$. En la segunda, los focos están en ${\displaystyle F(0,\pm c)}$ y los vértices en ${\displaystyle V(0,\pm a)}$. En cualquier caso, la relación entre los tres semiejes viene dada por la igualdad:

        

Ecuaciones de una hipérbola con centro en el punto ${\displaystyle C(h,k)}$

Como en el caso anterior, la ecuación asume una de las siguientes formas:

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle {\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}=1}$

Ecuaciones en coordenadas polares[editar]

Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas cartesianas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda: 

${\displaystyle r^{2}=a\sec 2\theta \,}$

Hipérbola abierta de arriba abajo:

${\displaystyle r^{2}=-a\sec 2\theta \,}$

Hipérbola abierta de noreste a suroeste: 

${\displaystyle r^{2}=a\csc 2\theta \,}$

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

${\displaystyle r^{2}=-a\csc 2\theta \,}$

Hipérbola con origen en el foco derecho:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1-\varepsilon \cos \theta }}}$

Hipérbola con origen en el foco izquierdo:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$

Ecuaciones paramétricas[editar]

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}}$

Hipérbola abierta de arriba abajo:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}}$

En todas las fórmulas ${\displaystyle h}$ y ${\displaystyle k}$ son las abcisa y ordenada, respectivamente, del centro de la hipérbola, ${\displaystyle a}$ es la longitud del semieje mayor, ${\displaystyle b}$ es la longitud del semieje menor.

Parámetros focales de la hipérbola y=1/x[editar]

Correspondencia entre la hipérbola equilátera ${\displaystyle y=1/x}$ y su forma focal ${\displaystyle x'^{2}/2-y'^{2}/2=1}$

Para determinar los parámetros focales de una hipérbola equilátera definida según la ecuación:

${\displaystyle y=1/x}$

se puede aplicar una operación matricial que permite modificar las coordenadas de un conjunto de puntos del plano cuando se les aplica un giro ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Como la hipérbola equilátera ${\displaystyle y=1/x}$ está girada con respecto al eje x según un ángulo ${\displaystyle \theta =45{\text{°}}}$, la matriz de transformación toma la forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola